考研数学中积分的定义主要基于极限和无穷分割的思想，具体可分为以下几种类型：

一、定积分的定义

定积分表示函数在某个区间上的累积效应，其定义通过以下步骤归纳：

分割：

将闭区间 \（[a, b]\） 分割成 \（n\） 个小区间 \（[x_{i-1}, x_i]\），每个小区间长度为 \（\Delta x_i\）；

近似：

在每个小区间 \（[x_{i-1}, x_i]\） 上取一点 \（\xi_i\），用函数值 \（f（\xi_i）\） 乘以小区间长度 \（\Delta x_i\） 近似该区间上的函数值；

求和：

将所有小区间的近似值相加，得到黎曼和 \（S_n = \sum_{i=1}^n f（\xi_i） \Delta x_i\）；

取极限：

当分割越来越细（即 \（\max（\Delta x_i） \to 0\））时，黎曼和的极限值即为定积分：

\[

\int_a^b f（x） \, dx = \lim_{n \to \infty} S_n

\]

该极限存在时，函数 \（f（x）\） 在区间 \（[a, b]\） 上可积。

二、不定积分的定义

不定积分是求原函数的过程，即找到一个函数 \（F（x）\），使得 \（F'（x） = f（x）\）。其定义基于反导数的概念：

若函数 \（f（x）\） 在区间 \（I\） 上连续，则存在函数 \（F（x）\），使得对任意 \（x \in I\），有 \（F'（x） = f（x）\）；

不定积分表示为 \（\int f（x） \, dx = F（x） + C\），其中 \（C\） 为任意常数。

三、其他积分类型

二重积分：

定义在平面区域 \（D\） 上的函数 \（f（x, y）\） 的累积效应，通过将区域分割成小矩形并求和取极限得到；

三重积分：

定义在空间区域 \（\Omega\） 上的函数 \（f（x, y, z）\） 的累积效应，类似地通过分割体状区域并求和取极限；

曲线积分与曲面积分：

分别定义在曲线 \（C\） 和曲面 \（S\） 上的积分，通过参数化表示并计算线积分或面积分。

四、重要性质

线性性：定积分对函数和常数线性，即 \（\int [af（x） + bg（x）] \, dx = a\int f（x） \, dx + b\int g（x） \, dx\）；

牛顿-莱布尼茨公式：若 \（F（x）\） 是 \（f（x）\） 的原函数，则 \（\int_a^b f（x） \, dx = F（b） - F（a）\）；

反常积分：处理无穷区间或无界函数的积分，例如 \（\int_0^\infty f（x） \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_0^b f（x） \, dx\）。

以上定义和性质为考研数学积分部分的核心内容，需结合具体题型灵活运用。