考研数学中，曲率（$k$）是描述曲线在某一点处弯曲程度的量，其核心概念和性质如下：

一、基本定义

曲率表示曲线上某一点处切线方向对弧长的转动率，即曲线偏离直线的程度。其数学定义为：

$$k = \frac{|\alpha'|}{s}$$

其中：

$\alpha'$ 是曲线在某点处切线方向角对弧长的导数（即角速度）；

$s$ 是弧长参数。

当弧长参数 $s$ 趋向于无穷小时，曲率 $k$ 的极限值即为该点的曲率：

$$k = \lim_{\Delta s \to 0} \frac{\Delta \alpha}{\Delta s}$$

二、平面曲线的曲率公式

对于平面曲线 $y = f（x）$，曲率公式为：

$$k = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}}$$

其中：

$y'$ 是函数的一阶导数（即切线斜率）；

$y''$ 是函数的二阶导数（即曲率半径的倒数）。

该公式通过切线斜率的变化率来量化弯曲程度，曲率越大表示弯曲越剧烈。

三、几何意义

凹凸性：

曲率的正负表示曲线的凹凸性。若 $k > 0$，曲线向上凹；若 $k < 0$，曲线向下凹；

曲率半径：

曲率的倒数 $R = \frac{1}{k}$ 表示曲线在该点的弯曲半径，即曲线在该点附近最密切圆的半径。

四、应用与扩展

三维曲线：对于参数方程 $\mathbf{r}（t） = （x（t）, y（t）, z（t））$，曲率公式为：

$$k = \frac{|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''|}{|\mathbf{r}'|^3}$$

物理与工程：曲率在流体力学、光学等领域有重要应用，例如描述光线在介质中的弯曲。

五、典型曲线示例

圆：对于圆周运动，曲率是常数，等于半径的倒数，即 $k = \frac{1}{R}$；

抛物线：抛物线的曲率随位置变化，其公式为 $k = \frac{2}{（1 + x^2）^{3/2}}$。

综上，曲率是微分几何中的核心概念，通过导数和极限定义，能够精确刻画曲线的弯曲特性，在数学分析、物理学及工程学中具有广泛的应用。