数列极限在考研数学中的题型主要分为以下几类，结合不同考试要求及高频考点进行归纳：
一、直接计算类（基础题型）
基本极限计算 考查常见数列极限值，如$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0$，$\lim_{n\to\infty} （1+\frac{1}{n}）^n=e$等。
函数极限转化
通过海涅定理将未定式转化为函数极限计算，例如$\lim_{x\to\infty} x\sin\frac{1}{x}$。
二、收敛准则类（核心题型）
单调有界准则
证明单调递增有上界或单调递减有下界的数列必收敛，常用于递推数列。
夹逼准则
通过不等式放缩找到夹逼数列，例如证明$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin n}{n}=0$。
柯西准则（Cauchy准则）
用于判断数列收敛性，要求对任意$\epsilon>0$存在$N$，当$m,n>N$时$|a_m-a_n|<\epsilon$。
三、极限定义与性质类
极限定义证明
利用$\epsilon-\delta$定义证明数列极限存在，例如证明$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^2}=0$。
极限性质应用
包括局部有界性、保号性等，如证明收敛数列必为有界数列。
四、综合应用类（高阶题型）
级数与积分结合
例如通过定积分定义求极限，或利用级数收敛性判断数列极限。
微分中值定理证明
结合拉格朗日中值定理、柯西中值定理证明数列极限，如证明某些递推数列的极限。
分段函数与变限积分
处理含绝对值的分段函数极限，或含积分的极限表达式。
五、证明题专项（高频考点）
数列极限不存在证明
例如通过子列法证明发散数列，或构造反例。
渐近线讨论
求水平/斜渐近线，如$y=n\sin\frac{1}{n}$的渐近线为$y=1$。
考试重点与建议
函数极限基础： 掌握基本公式与变形（如多项式开n次方极限）。 定理记忆与运用
综合训练：通过历年真题（如数一、数二）进行题型模拟。
以上题型覆盖了数列极限的核心考点，建议考生结合教材与真题，重点突破证明题与综合应用题的解题思路。
