考研数学中关于定积分的考查内容主要涵盖以下几个方面，需结合教材和真题进行系统复习：
一、核心考点
定义与基本性质 - 可积条件：
函数在闭区间上连续或仅有有限个间断点；
- 基本性质：包括积分区间的可加性、积分区间的伸缩性、积分中值定理、牛顿-莱布尼茨公式等。
计算方法 - 换元积分法：
第一类换元法（凑微分）和第二类换元法；
- 分部积分法：适用于幂函数与三角函数、指数函数乘积的积分；
- 特殊区间积分：对称区间（奇偶函数简化计算）、周期函数积分与起点无关。
应用场景 - 几何应用：
计算平面图形面积（如曲边梯形）、旋转体体积等；
- 物理应用：变速直线运动的路程计算。
反常积分 - 概念与收敛性：
无穷区间积分和瑕积分的敛散性判断；
- 计算方法：代数替换、比较判别法等。
二、典型题型
计算类 - 通过换元或分部积分法计算复杂积分，如$\int x\cos x\,dx$（分部积分）或$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$（三角代换）。
应用类
- 利用定积分计算面积，例如求由$y = x^2$与$y = x+1$围成的区域面积；
- 结合中值定理证明积分恒等式，如证明$\int_{a}^{b} f（x）g（x）\,dx = f（\xi）\int_{a}^{b} g（x）\,dx + g（\xi）\int_{a}^{b} f（x）\,dx$（分部积分的推广）。
综合类
- 结合微分方程或级数知识，如利用分部积分法求解常微分方程。
三、注意事项
定理与公式： 需熟练掌握牛顿-莱布尼茨公式、积分中值定理等核心结论； 计算技巧
反常积分：重点关注无穷区间和瑕积分的判别方法，避免遗漏收敛条件。
建议结合教材（如《考研数学高等数学习题库》）和真题（如2021-2023年真题）进行系统训练，注意总结解题思路与技巧。
